悖论的叙述是这样的：
有俩信封，已知一个里面装的钱是另一个的两倍，你可以挑一个带走。 你随便挑了一个，现在给你机会换成另一个。 有可能翻番，也有可能减半，所以换之后期望是 (0.5+2)/2=1.25 倍。 但是换完之后又落到了相同的处境，再换还能翻 1.25 倍。 无限换就能无限刷钱，这对吗？
主要的谬误来源于「小包换大包和大包换小包的概率相等」这个隐含的假设，它蕴含了任何一个信封里包含的金额的分布是 $\mathbb{R}^+$ 上的均等分布。 如果真是这样的分布，那期望确实是无穷大，悖论的叙述没问题，但大家都知道这样的分布不存在。 而只要分布不是均等的（这在全体正实数上是一定的），那么换信封得到更大或更小的概率就是不一定相等的，取决于当前信封里的金额。
取个明显能看出问题的分布：假设小信封的金额的分布是 $[0,100]$ 上的均等分布，那在绝大多数情况下，换信封之后变大变小确实是五五开。 但即使你开了挂，最开始选中的信封里只有一分钱，并且每次都运气特别好，换一次都翻倍，那么换 14 次后，大信封的金额将会是 163.84 元。 这时候再换还能翻番的概率就是 0，因为再翻小信封的金额就超 100 了。
一旦给定了金额较小的信封里的金额分布 $A(x)$，在知道信封内金额时换信封的期望就是确定的。 （给定哪个信封的分布都行，反正两个信封的分布是相关的，你用大的一样能定义小的。） 那么大信封的分布是 $B(x):=\frac{1}{2}A(\frac{x}{2})$，$E(B)=2E(A)$。
第一次挑的时候两个信封等概率取，期望为 $E(\text{盲挑})=\frac{1}{2}E(A)+\frac{1}{2}E(B)=1.5E(A)$，与预期的相符。
换信封之后期望如何变化呢？ 假设当前信封里金额为 $x$，那么从小换大与从大换小的概率之比是 $A(x):B(x)$。 交换的预期收益是 $$\Delta(x)=\frac{x\cdot A(x)-\frac{1}{2}x\cdot B(x)}{A(x)+B(x)},$$ 而信封里金额正好是 $x$ 的概率分布为 $$p(x)=\frac{A(x)+B(x)}{2}.$$ 故而换信封的收益期望 $$E(\text{换信封}) =\int_{\mathbb{R}^+}\Delta(x)p(x)\mathrm{d}x =\frac{1}{2}\left(E(A)-\frac{1}{2}E(B)\right)=0. $$ 就是说反正压根就是盲挑，换信封也没用。
就这样，我们可以在不给定信封里金额的具体分布的前提下进行讨论，进而破解这个悖论。