念一叨

一个从数学上对熵增进行诠释的尝试

免责声明

我对热力学一窍不通。 那些术语——什么焓啊、内能啊、体积功啊的——它们的定义、语义、之间的差异等等,我是一点都不知道。 尽管如此,我相信自己对那个最广为流传的热力学第二定律有着比较本质的理解。 因此,本文是一篇民科文。如果您被我的观点民到了,请轻喷😄


诠释的动机来源于熵在信息论中的定义:事件发生概率的负对数。 这与热力学里那个“最微观”的定义——状态空间大小的对数——是一致的;基于热力学机制的那个定义我显然看不懂。

用这个定义来翻译热二,其实是说:

系统总会朝着概率更大的状态演化。

这里有一些不精确,请让我重述:

足够复杂的系统随时间随机演化,几乎一定会朝概率更大的状态等价类演化。


我们可以举一个“没那么复杂的系统”作为例子来辅助理解:

假设有两个物品槽和 2n 个互异的物品,每个物品可以在任意一个槽里,这是系统。 每次演化,每个物品以相同概率跳到另一个槽。 脑内模拟一下就知道,当 n 足够大时,绝大多数时候,槽内的物品数量分布绝对是相当接近五五开的。 这是因为,当物品数量分布距五五开出现较大偏差时,“多跳少”的物品要远远多于“少跳多”的物品。

可以见得,系统的规则内并没有对五五开的情况有特殊偏好。 “五五开”并非某一种具体的状态,而是一类状态的总称,所以我说它是「等价类」。 它更容易出现本质上是因为它对应的概率——也即状态空间的大小——更大。 系统从任意当前状态随机演化一步,大概率是朝着概率更大的方向前进。 这就是基于概率的纠正机制——人们一般管它叫「热力学作用」,以与「动力学作用」区分开来——后者是“基于规则”的纠正机制。


当系统的规模足够大(如整个宇宙有 10^23 个粒子)、演化的频率足够高(原子尺度的物理是连续的)时,就得到了上面的那个重述版本的原理:

足够复杂的系统随时间随机演化,几乎一定会朝概率更大的状态等价类演化。

这里的「等价类」是人为根据上层语义来划分的。 在热力学上,这个等价类以熵来划分:所有等熵的状态装进一个类里。

你可以把系统想象成在状态空间里漫步的一个点,状态空间的维度等于系统的自由度: 它时时刻刻都在朝随机(或近乎随机的)方向移动。 但由于维度实在是太高了,在所有可去往的方向中,绝大部分都通向高熵态,只有来时的那几条路能够返回原来的低熵态。 因此,系统就在一路熵增的路径上一马平川地飞奔下去——已经在低谷了,怎么走都是向上!

总结而言:

  • 熵越大,概率越大。
  • 概率越大,系统越容易朝着它演化。
  • 宏观系统总是足够复杂的。
  • 因此,宏观系统的熵几乎一定不减。

希望你能够理解并喜欢这套诠释。

倘若你接受这套诠释的话,一个绕不过去的问题是:

宇宙的初始状态为什么是低熵的?

这个问题我暂且没有思考过,也在这套诠释的考虑范围之外。 如果你有好的想法,欢迎交流!